Чему равна сумма ряда

29.06.2025 в 0:02

Сумма числового ряда - это предел последовательности его частичных сумм, если такой предел существует и конечен. В математическом анализе понятие суммы ряда играет фундаментальную роль при изучении бесконечных последовательностей и функций.

Основные понятия

Типы рядов и их суммы

1. Сходящиеся ряды

• Геометрический ряд: ∑arⁿ = a/(1-r), |r| < 1
• Гармонический ряд (p-ряд): ∑1/nᵖ сходится при p > 1
• Телескопический ряд: ∑(1/n - 1/(n+1)) = 1

2. Расходящиеся ряды

• Гармонический ряд ∑1/n расходится
• Геометрический ряд с |r| ≥ 1 расходится
• Ряд ∑n расходится к +∞

Методы вычисления сумм

Примеры вычисления сумм

1. Геометрический ряд: ∑(1/2)ⁿ = 1/(1-1/2) = 2
2. Телескопический ряд: ∑(1/n(n+1)) = ∑(1/n - 1/(n+1)) = 1
3. Ряд обратных квадратов: ∑1/n² = π²/6 (результат Эйлера)

Условная и абсолютная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов. Условно сходящиеся ряды требуют особой осторожности при перестановке членов, так как могут давать разные суммы.