Доказательство того, что сумма четных чисел является четной

28.06.2025 в 22:07

В математике четные числа обладают определенными свойствами, которые позволяют доказывать различные утверждения относительно операций с ними. Рассмотрим доказательство того, что сумма любых двух четных чисел всегда будет четным числом.

Определение четного числа

Четным называется целое число, которое делится на 2 без остатка. Формально это можно выразить как:

• Число a является четным, если существует целое число k, такое что a = 2k

Доказательство теоремы

Формулировка теоремы

Сумма двух четных чисел является четным числом.

Доказательство

1. Пусть a и b - два четных числа
2. По определению четного числа:
   • a = 2k, где k ∈ ℤ
   • b = 2m, где m ∈ ℤ
3. Рассмотрим сумму этих чисел: a + b = 2k + 2m
4. Вынесем общий множитель: a + b = 2(k + m)
5. Поскольку k и m - целые числа, их сумма (k + m) также целое число
6. Следовательно, a + b = 2n, где n = k + m ∈ ℤ
7. Это соответствует определению четного числа

Обобщение на случай нескольких слагаемых

Доказательство для n слагаемых

Пусть a₁, a₂, ..., aₙ - четные числа. Тогда каждое можно представить как:

• a₁ = 2k₁
• a₂ = 2k₂
• ...
• aₙ = 2kₙ

Их сумма: a₁ + a₂ + ... + aₙ = 2(k₁ + k₂ + ... + kₙ) = 2m, где m ∈ ℤ

Примеры

Вывод

Из представленного доказательства следует, что:

• Сумма любого количества четных чисел всегда будет четным числом
• Это свойство основано на том, что четные числа по определению кратны 2
• При сложении чисел, кратных 2, результат также будет кратен 2